모듈러 군

모듈러 군 PSL(2, ℤ)은 두 개의 특별한 원소로 생성된다. 이 두 생성원은 일반적으로 S와 T로 표기되며, 상반평면 위의 분수 선형 변환으로 작용한다.

T는 평행 이동 변환에 해당하며, z를 z+1로 보낸다. 이 변환은 행렬로는 [[1, 1], [0, 1]]에 해당한다. S는 반전 변환에 해당하며, z를 -1/z로 보낸다. 이 변환은 행렬로는 [[0, -1], [1, 0]]에 해당한다. 모듈러 군의 모든 원소는 이 S와 T의 유한한 곱으로 표현할 수 있다.

이 두 생성원은 다음과 같은 두 가지 기본적인 관계를 만족시킨다.

• S^2 = 1 (항등원)

• (ST)^3 = 1

사실, 모듈러 군은 이 두 관계식으로 정의되는 표현을 가진다. 즉, S와 T를 생성원으로 하고, 위의 두 관계식을 유일한 관계식으로 가지는 군이 PSL(2, ℤ)과 동형이다. 이는 모듈러 군이 자유곱 C2 * C3, 즉 2차 순환군과 3차 순환군의 자유곱과 동형임을 의미한다.

모듈러 군의 작용에 대한 상반평면의 몫공간을 모듈러 곡선이라고 한다. 정확히는, 상반평면 H는 복소수 z = x + iy에서 y > 0인 영역이다. 모듈러 군 Γ = PSL(2, ℤ)는 이 상반평면에 분수선형변환으로 작용한다. 이 작용에 대한 기본 영역을 고정하면, 그 영역의 변들을 군 작용에 따라 적절히 붙여 만든 위상 공간이 모듈러 곡선 Y(1) = H/Γ이다. 이 공간은 차원이 1인 리만 곡면의 구조를 가지며, 여기에 유리형 점인 첨점을 추가해 컴팩트화하면 완전한 모듈러 곡선 X(1)이 된다.

모듈러 곡선 X(1)은 위상적으로 구면과 동형이며, 그 위에는 자연스러운 복소 구조가 주어진다. 이 곡선은 j-불변량이라고 하는 함수에 의해 복소평면과 동형이 된다. 즉, 모듈러 곡선 위의 각 점은 하나의 타원곡선의 동형류를 나타내며, j-불변량은 이 동형류를 구분하는 불변량 역할을 한다. 따라서 모듈러 곡선은 모든 타원곡선의 동형류를 분류하는 공간으로 해석될 수 있다.

모듈러 곡선의 개념은 합동 부분군에 의한 몫공간으로 일반화된다. 모듈러 군 Γ의 합동 부분군 Γ'에 대해, 몫공간 H/Γ'을 정의할 수 있으며, 이를 적절히 컴팩트화한 것을 일반화된 모듈러 곡선 X(Γ')이라고 한다. 이러한 곡선들은 수론, 특히 타원곡선의 합동성과 깊은 관련이 있으며, 모듈러 형식의 기하학적 토대를 제공한다.

모듈러 군은 타원곡선의 복소 구조를 분류하는 데 핵심적인 역할을 한다. 복소 평면 위의 격자 Λ는 두 개의 복소수 ω1, ω2로 생성되며, 이 두 수의 비 τ = ω2/ω1은 상반평면 H에 속한다. 이 격자 Λ(τ)는 타원곡선 E(τ) = C/Λ(τ)를 정의한다. 여기서 중요한 점은 서로 다른 τ가 동형인 타원곡선을 정의할 수 있다는 것이다. 구체적으로, 두 점 τ와 τ'가 모듈러 군 Γ = PSL(2, ℤ)의 작용, 즉 τ' = (aτ + b)/(cτ + d) (단, a, b, c, d는 정수이고 ad - bc = 1)에 의해 관련되면, 대응하는 타원곡선 E(τ)와 E(τ')는 복소해석적으로 동형이다.

따라서 모듈러 군의 작용을 통해 타원곡선의 동형류를 분류할 수 있다. 모듈러 군의 기본 영역은 상반평면 H에서 이 군의 서로 다른 작용으로 얻어지는 점들을 하나씩만 대표하는 영역이다. 이 기본 영역의 점들과 타원곡선의 동형류 사이에는 일대일 대응이 성립한다. 이는 모듈러 군의 몫 공간 H/Γ가 타원곡선의 모듈라이 공간 역할을 함을 의미한다.

이 관계는 모듈러 형식 이론의 기초가 된다. 타원곡선의 중요한 불변량인 j-불변량은 모듈러 군에 대해 불변인 함수이며, H/Γ 위에서 잘 정의된다. 이 j-함수는 모듈러 군의 기본 영역에서 복소 평면으로 가는 전단사 함수를 제공하여, 모듈라이 공간을 기하학적으로 묘사하는 데 사용된다.

모듈러 군의 작용에 대해 불변인, 또는 특정 변환 법칙을 따르는 복소 함수를 모듈러 형식이라고 한다. 구체적으로, 상반평면 위의 정칙 함수 f가 모든 모듈러 군의 원소에 대해 f((aτ+b)/(cτ+d)) = (cτ+d)^k * f(τ) 와 같은 변환 법칙을 만족할 때, 이를 무게 k인 모듈러 형식이라 정의한다. 여기서 k는 정수인 무게이며, 이 변환 법칙은 모듈러 군이 상반평면에 분수 선형 변환으로 작용함에서 비롯된다. 또한, 함수는 무한대에서의 푸리에 전개가 특정 형태를 가져야 하는 등 추가적인 조건을 충족해야 한다.

모듈러 형식은 그 자체로 중요한 대칭성을 지닌 함수 공간을 이루며, 수학의 여러 분야에서 핵심적으로 등장한다. 특히, 모듈러 형식의 푸리에 계수는 깊은 수론적 정보를 담고 있다. 대표적인 예로, 타원곡선의 해시-베유 L-함수와 모듈러 형식의 L-함수가 일치한다는 모듈러성 정리는 페르마의 마지막 정리 증명의 핵심 도구가 되었다.

이러한 모듈러 형식의 이론은 합동 부분군에 대한 일반화, 즉 높은 수준의 구조를 갖는 모듈러 형식으로 확장된다. 또한, 현대 수학에서는 보다 일반적인 군의 표현과 오토모픽 형식의 이론으로까지 발전하여, 랭글랜즈 프로그램의 중심적인 연구 대상이 되고 있다.

모듈러 군은 정수 계수 2×2 행렬로 정의되기 때문에, 그 구조와 작용이 정수론의 여러 문제와 깊이 연결되어 있다. 특히 이 군의 이산성과 상반평면 위의 작용은 정수 이차형식의 표현 문제와 모듈성 정리 같은 중요한 수론적 결과를 이해하는 데 핵심적인 틀을 제공한다.

모듈러 군의 수론적 응용 중 하나는 정수 계수 이차형식의 대표수 문제와 관련이 있다. 예를 들어, 어떤 정수가 특정 이차형식으로 표현될 수 있는지, 그리고 그 표현의 개수를 세는 문제는 종종 모듈러 형식의 푸리에 계수로 나타난다. 모듈러 군 Γ에 대한 모듈러 형식은 그 군에 대한 대칭성을 가지는 함수로, 이러한 형식들의 공간은 수론적 정보를 담고 있는 특수한 수열을 생성한다. 이는 타원곡선의 L-함수나 분할 함수 같은 다양한 산술 함수의 성질을 연구하는 데 활용된다.

가장 유명한 응용 사례는 페르마의 마지막 정리를 증명한 앤드루 와일스의 연구에서 모듈성 정리가 결정적인 역할을 한 것이다. 이 정리는 유리수체 위의 타원곡선과 모듈러 형식 사이의 깊은 대응 관계를 주장한다. 구체적으로, 모든 타원곡선은 모듈러 군의 합동 부분군에 대한 모듈러 형식에서 유래한다는 것이다. 이 연결을 통해 타원곡선의 수론적 성질을 모듈러 형식의 해석적 성질로 변환하여 접근할 수 있게 되었고, 이는 현대 정수론의 중심 주제가 되었다.

또한, 모듈러 군의 합동 부분군은 갈루아 표현론과 랭글랜즈 프로그램의 초기 예시를 제공한다. 여기서 모듈러 곡선의 에탈 코호몰로지에 작용하는 갈루아 군의 표현이 모듈러 형식의 공간에서 발생하는 표현과 동일시될 수 있다. 이러한 대응은 수체 위의 대수적 다양체와 자기형식 사이의 보다 일반적인 관계를 탐구하는 랭글랜즈 상관관계의 출발점이 된다.

상위 모듈러 군은 모듈러 군 PSL(2, ℤ)을 일반화한 개념이다. 주로 정수 계수 대신 다른 환의 원소를 성분으로 가지는 행렬로 구성된 군을 의미한다. 가장 일반적인 형태는 PSL(2, R)로, 여기서 R은 정수환 ℤ보다 큰 환, 예를 들어 대수적 정수환 등을 말한다. 이들은 더 넓은 대칭성을 연구하는 데 핵심적인 역할을 한다.

구체적으로, 대수적 수체 K의 정수환 O_K를 생각할 때, 행렬식이 1인 2×2 행렬 중 성분이 O_K에 속하는 것들의 집합을 생각한다. 이 집합을 ±I로 나눈 군 PSL(2, O_K)를 K에 대한 힐베르트 모듈러 군 또는 상위 모듈러 군이라 부른다. 이 군은 복소 상반평면이 아닌 더 높은 차원의 대칭 공간, 예를 들어 복소 상반평면의 곱(C × C) 등에 작용한다.

이러한 상위 모듈러 군의 기하학적 작용은 모듈러 곡선을 고차원의 모듈러 다양체로 일반화한다. 또한, 이들의 산술적 성질과 자동적 형식 이론은 현대 수론의 중요한 연구 주제가 되었다.

합동 부분군은 모듈러 군의 중요한 부분군들로, 수준 N을 양의 정수로 가지는 군이다. 정확히는, 모듈러 군 Γ = PSL(2, ℤ)의 원소 중, 정수 행렬 표현이 2×2 단위행렬을 법 N으로 합동인 것들로 이루어진 부분군을 주 합동 부분군 Γ(N)이라 부른다. 이는 모듈러 군의 정규 부분군이 된다. Γ(N)보다 더 넓은 조건을 가지는 합동 부분군들도 정의되는데, 예를 들어 Γ₀(N)은 하삼각 행렬 성분이 법 N으로 0인 조건을, Γ¹(N)은 주대각선 성분이 법 N으로 1인 조건을 각각 만족하는 원소들의 군이다.

이러한 합동 부분군들은 모듈러 군의 몫군을 유한군으로 만들어, 이에 대응되는 모듈러 곡선의 기하학적 성질을 연구하는 데 핵심적이다. 특히, 합동 부분군에 대한 모듈러 곡선은 유리수체 위에서 정의된 타원곡선의 모듈라이 공간으로 작용하며, 이는 페르마의 마지막 정리 증명의 토대가 된 타니야마-시무라 추론과 깊이 연관되어 있다. 또한, 합동 부분군에 부합하는 모듈러 형식의 공간은 수준 N에 따라 구조가 달라지며, 이는 수론에서 L-함수와의 연결을 제공한다.